ثم نقول : قد عرفت ان القوائم الحاصلة في داخل كل مضلع : ضعف عدد المثلثات الواقعة فيه. والمثلثات الواقعة فيه : أنقص من تلك الأضلاع باثنين. والقوائم الحاصلة [له (1) ] بسبب المضلعين : أربعة. ولما لم توجد هذه الأربع في داخل المضلع ، وجب حصولها في الخارج. فثبت : أن جميع الزوايا الحاصلة في الخارج ، لا تزيد على أربع قوائم.

المقدمة الرابعة : إن كل مضلع. فإنه لا بد وأن يتصل كل واحد من أضلاعه بالضلع الثاني منه. لا على الاستقامة. وإلا لصار الكل خطا مستقيما. والخط المستقيم لا يحصل منه المضلع. فثبت : أنه لا بد وأن يتصل كل واحد من تلك الأضلاع بالضلع الثاني ، على زاوية ، تحصل في داخل ذلك المضلع.

المقدمة الخامسة : إنا إذا أخرجنا ذلك المضلع على الاستقامة إلى الخارج ، حدث من ذلك الخط ، ومن الضلع الثاني من أضلاع ذلك المضلع : زاوية خارج المضلع (2). فإن كان المضلع [مثلثا متساوي الأضلاع والزوايا ، كانت الزوايا الثلاثة الحادثة في الخارج منفرجة. وإن كان المضلع (3) ] مربعا متساوي الأضلاع [والزوايا (4) ] كانت الزوايا الحادثة في الخارج بأسرها قوائم ، وإن كان المضلع مخمسا متساوي الأضلاع والزوايا ، كانت الزوايا الحادثة [في الخارج (5) ] بأسرها حادة. وكذا القول في سائر المضلعات الحاصلة بعد المخمس إلى غير النهاية.

المقدمة السادسة : إنه ظهر بما ذكرنا : أنه كلما كانت الأضلاع أكثر عددا ، كانت الزوايا المنفرجة الحادثة في داخل ذلك المضلع أوسع. وكانت الزوايا الحادثة في خارج ذلك المضلع أضيق (6).