وإذا عرفت هذه المقدمات. فنقول : اعتبار حال هذه المضلعات يدل على بطلان القول بالجوهر الفرد من ثلاثة أوجه :

الأول : إنه لا نهاية لمراتب المضلعات. فإن مراتبها بحسب مراتب الأعداد. فأولها : الذي له ثلاثة أضلاع. وثانيها : الذي له أربعة أضلاع. وثالثها : الذي له خمسة أضلاع. وإذا كان لا نهاية لمراتب الزيادة في الأعداد. فكذلك لا نهاية لمراتب الأضلاع. وقد عرفت أنه كلما كانت الأضلاع أكثر عددا ، كان اتساع الزوايا الداخلة أكثر. مع أنها البتة لا تنتهي إلى حد (1) القائمتين. وإلا لزم أن يتصل أحد الضلعين (2) بالآخر على الاستقامة. وذلك (3) محال. فثبت : أن مجموع القائمتين ، أولى أن يقبل القسمة إلى غير النهاية.

والثاني : إنا بينا : أنه كلما صارت الزوايا الداخلة أوسع ، صارت الزوايا الخارجة أضيق. ولما كان لا نهاية لمراتب [ذلك (4) ] الاتساع ، فكذلك لا نهاية لمراتب هذا الضيق. وعند هذا يظهر أن القائمة الثابتة [تبتدئ (5) ] بالانقسام من وقت عمل المخمس ، وتمر في قبول القسمة إلى غير النهاية. أما في داخل المضلع فبسبب الاتساع (6) وأما في الخارج فبسبب التضايق.

والثالث : إن كل نقطة في السطح ، فإنه يفرض (7) حولها أربع قوائم. إذا ثبت هذا ، فنقول : لما كانت الأضلاع قابلة للتزايد إلى غير النهاية ، كانت المثلثات الواقعة [في المضلعات قابلة للتزايد إلى غير النهاية. وإذا كانت (8)