كان؟ سواء كان مثلثا أو مربعا أو مخمسا. أو غير ذلك من المضلعات التي لا نهاية لها. فإنك إذا أخرجت كل واحد من أضلاعه في جهة واحدة ، فإن مجموع الزوايا الحادثة في الخارج من ذلك الضلع ، يساوي أربع قوائم. لا أزيد ولا أنقص. والدليل عليه : الاستقراء والبرهان.

أما الاستقراء : فهو أن المثلث إذا أخرج كل واحد من أضلاعه الثلاثة على الاستقامة، حيث من كل منها زاويتان معادلتان لقائمتين ومجموعهما ست قوائم ، والواقع (1) في داخل المثلث اثنان. فالباقي من تلك الستة (2) في الخارج : أربع قوائم. وأيضا : المربع إذا أخرج كل واحد من أضلاعه الأربعة إلى الخارج ، حدث بسبب كل ضلع قائمتان (3) أو معادلتان لقائمتين. فالمجموع : ثمانية. لكن المربع يحصل فيه مثلثان ، فتكون القوائم الحاصلة في داخل المربع : أربعة. فبقيت (4) الحاصلة في الخارج أربعة. وأيضا : المخمس إذا أخرج كل واحد من أضلاعه على الاستقامة إلى الخارج ، حدث بسبب كل ضلع زاويتان (5) معادلتان لقائمتين. فيكون مجموع القوائم : عشرة. والواقع منها في داخل المخمس : ست ، فيبقى في الخارج : أربعة. واعتبر حال سائر الأشكال من نفسك. لتعرف أن الحال كما ذكرناه.

وأما البرهان : فنقول إن كل مضلع (6) فإنه يمكن إخراج كل واحد من أضلاعه على الاستقامة. فإذا فعلنا حصل بسبب ذلك زاويتان معادلتان لقائمتين إحداهما واقعة في داخل [ذلك (7) ] المضلع ، والأخرى خارجة عنه. وإذا كان كذلك ، وجب أن يكون عدد القوائم الحاصلة في الداخل والخارج : ضعيف عدد أضلاع ذلك المضلع.