لأربع قوائم ، ولما كان المخمس حصل فيه ثلاثة مثلثات ، وجب أن تكون زوايا المخمس معادلة لست (1) قوائم. وقس الباقي عليه.

إذا عرفت هذا ، فنقول : إذا أردت أن نعرف عدد القوائم الواقعة في المضلعات ، فالطريق فيه : أن نعرف عدد المثلثات الواقعة في ذلك المضلع ، ثم تضعفه. فما بلغ ، فهو عدد القوائم الحاصلة في ذلك المضلع.

مثاله : إن المخمس فيه ثلاث مثلثات. فلا جرم قلنا : القوائم الحاصلة في داخل المخمس : ست فكان مقدار كل واحدة من زوايا المخمس ، قائمة وخمس قائمة. وأما المسدس فمثلثاته أربعة وقوائمه ثمانية (2). فكل واحدة من زواياه قائمة وسدسان من قائمة. وأما المسبع فمثلثاته خمسة ، وقوائمه عشرة. فكل واحدة من زواياه قائمة وثلاثة أسباع قائمة [وأما المثمن (3) ] فمثلثاته ستة وقوائمه اثنتا عشرة. فكل واحدة من زواياه قائمة وأربعة أثمان قائمة. وأما المتسع فمثلثاته سبعة ، وقوائمه أربع عشرة ، فكل واحدة من زواياه قائمة وخمسة أتساع قائمة. وأما المعشر فمثلثاته ثمانية وقوائمه ست عشرة. فكل واحدة من زواياه قائمة وستة أعشار قائمة.

والضابط فيه : أن المضلع الذي قد يكون كل واحد من زواياه ، أزيد من قائمة. إنما يبتدئ من المخمس ، ويمر إلى غير النهاية. فأول هذه المراتب هو المخمس. فلا جرم قلنا : زاويته قائمة [وخمس قائمة. والمرتبة الثانية هي المسدس. فلا جرم قلنا : زاويته قائمة (4) ] وسدسان من قائمة. والمرتبة الثالثة هي المسبع ، فلا جرم قلنا : زاويته قائمة وثلاثة أسباع قائمة. وعلى هذا القياس يطرد حساب هذا الباب.

المقدمة الثالثة : إن كل شكل (5) مسطح مستقيم الأضلاع. أي شكل