حصلت في هذا الخط. فهذا هو المثلث الثاني. ثم إذا وضعنا ذلك المثلث على خط آخر ، مركب من أربعة أجزاء بالطريق الأول ، فهو (1) المثلث الثالث. وقس عليه سائر المراتب التي لا نهاية لها. فثبت : بما ذكرنا : أنا إذا قلنا : الجسم مركب من أجزاء لا تتجزأ. فإن شيئا من المثلثات لا يوجد إلا بسبب وقوع جزء متصل الجزءين. وذلك يوجب القسمة.

ولقائل أن يقول : قولكم «الجزء إذا وقع على متصل الجزءين ، لزم حصول القسمة» وقد سبق الكلام عليه.

الحجة الثالثة : قالوا : إذا أردنا أن نعمل مثلثا من الواحد والاثنين والثلاثة ، امتنع. وإلا لزم أن يكون مجموع الضلعين مساويا للضلع الثالث. وهو محال : أما إذا أردنا أن نعمل مثلثا من الاثنين والثلاثة والأربعة ، حصل منه مثلث منفرج الزواية. لأن مربع الأربعة ، أزيد من مجموع مربع الاثنين ومربع الثلاثة. وبهذا البيان. يظهر أن المثلث الذي يكون منفرج الزواية ، أقدم أنواع المثلثات. أما إذا أردنا أن نعمل مثلثا من الثلاثة والأربعة والخمسة. فإنه يحصل منه مثلث قائم الزاوية ، لأن مربع الخمسة يساوي مجموع مربع الثلاثة ، ومربع الأربعة. أما إذا أردنا عمله من الأربعة والخمسة والستة ، حصل منه مثلث حاد الزوايا. لأن مربع الستة أقل من مجموع مربع الخمسة ومربع الأربعة. إلا أن هذا المثلث وإن كان حاد الزوايا إلا أنه مختلف الزوايا. وأعظمها هي الزاوية التي بوترها (2) الضلع الأعظم وهو الستة وأما (3) إذا أردنا عمل المثلث من الخمسة والستة والسبعة ، حصل أيضا مثلث حاد الزوايا. إلا أن الزاوية التي كان بوترها الضلع الأعظم من المثلث السابق ، أعظم من الزاوية التي بوترها الضلع الأعظم من هذا المثلث. فإنا بينا : أن أول تلك الزوايا هي المنفرجة ثم القائمة ثم الحادة. وعلى هذا الطريق فلا يزال يزداد ضيق تلك الزوايا.