ومن الطبيعي أن يكون منهج البحث ملائما للعلوم الرياضية التي اشتهرت بها الأكاديمية. وقد بدأت المناهج تتميز بوضوح منذ سقراط الذي اشتهر بمنهج «التهكم والتوليد». والمنهج السقراطي يعتمد أساسا على الحوار؛ لأن المباحث التي خاض فيها هي العلوم الإنسانية من أدب وفن ولغة وشعر ودين وأخلاق واجتماع وسياسة. وقد اتبع هذا المنهج في الأكاديمية وتصوره المحاورات أجمل تصوير، وهو منهج يقوم على تعريف المعاني الكلية، وتحديد الألفاظ، والاستقراء.

والأصل في المحاورة أنها مناقشة تتم بين شخصين - أو أكثر - وتسمى باللغة اليونانية «ديالوج» من المقطعين «ديا» و«لوجوس»؛ أي الكلام أو القول بين اثنين. وقد تطور الحوار عند سقراط إلى «الجدل» عند أفلاطون، وهو يعني باليونانية «ديالكتيك»، من المقطعين «ديا» و «لكتيكون» أي كلام أو حديث. والفرق بين «الديالوج» و«الديالكتيك» أن الحوار حديث بين شخصين، و«الجدل» حديث بين الشخص نفسه. فهو تفكير يدور داخل النفس، ومنه عند أفلاطون جدل صاعد ومنه جدل نازل. و«الجدل» بهذا المعنى هو المنهج الفلسفي بلا منازع؛ لأن النفس تصعد إلى المثل أي الحقائق، ثم تنزل من عالم المثل إلى عالم الحس، وتهبط من عالم الثبات إلى عالم التغير.

أما المنهج الملائم للرياضيات، فهو التحليل والقسمة، ويقال إن أفلاطون هو الذي اخترع طريقة التحليل، ثم وهب المنهج إلى تلميذه ليوداماس. والتحليل باليونانية «أنالوسيس»

Analysis ، وهو الذي أصبح فيما بعد أساس المنطق الأرسطي في كتابيه الرئيسين أنالوطيقا الأولى وأنالوطيقا الثانية، أي القياس والبرهان. خذ مثالا لذلك فكرة «المساواة» وكيف يحللها في محاورة «فيدون» من النظر إلى قطع متساوية من الخشب. ويقول بروقلس في تعليقه على الكتاب الأول لإقليدس عن ليوداماس: «إن أفلاطون شرح له طريقة التحليل، فكانت عونا له في الكشف عن أمور هندسية كثيرة.»

ولقد اشتهرت الأكاديمية باستخدام منهج القسمة، وبخاصة القسمة الثنائية. وفي محاورة السفسطائي نموذج لهذا المنهج. والقسمة مفيدة في التصنيف والتعريف. تدور محاورة السفسطائي بين ثيودورس القورينائي، وثياتيتوس الرياضي، وسقراط، وشخص رابع من إيليا. وقد حاول المتحاورون - وهم كما نرى رياضيون - تحديد معاني السفسطائي، والسياسي، والفيلسوف. فالسفسطائي يعالج فنا من الفنون، والفنون إما أن تكتسب وإما أن تبتدع.

والفنون المكتسبة إما أن تكون بالتعلم أو المحاكاة، وهي كالتجارة، والحرب، والصيد.

والصيد أنواع؛ منه اقتناص الأحياء، ومنه اقتناص غير الحي.

وصيد الأحياء أنواع؛ مثل صيد السمك في البحار، والطيور في الهواء، والدواب على ظهر الأرض، وذلك بضروب مختلفة من الشباك والفخاخ والصنانير. والسفسطائي صائد، وفنه مكتسب، وصناعته اقتناص الناس من ذوي الحسب والمال، يقدم لهم علما مقابل ما يأخذه من أجر. فهذا نموذج للقسمة الثنائية، ومنهج القسمة وفائدته في التعريف والتصنيف.

ولم تكن الأكاديمية مقصورة في أبحاثها على العلوم الرياضية فقط، بل كانت تبحث أيضا في علوم الحياة. ولكن اتجاه المدرسة بوجه عام كان نحو الرياضيات. وقد احتفظ أحد شعراء الكوميديا بصورة تحكي ما كان يجري في الأكاديمية من بحث في النبات، قال أفكراتس شاعر الكوميديا في تمثيليته التي يدور فيها الحوار على النحو التالي: - أخبرني عن أفلاطون، وسبيسيبوس، ومينديموس، ماذا يعملون الآن؟ أي فكرة عميقة يبحثونها؟ وأي جدل شديد يدور بينهم؟ - إني أعرف كل شيء وسأخبرك ببساطة. في عيد البناثيناي رأيت جماعة من الشباب في ملعب الأكاديمية، وهناك سمعت أمورا بعيدة عن التصديق؛ كانوا يعرفون ويقسمون العالم الطبيعي، ويميزون عادات الحيوان وطبائع الشجر وأنواع الخضر، ورأيت معهم «يقطينا» كانوا يبحثون من أي نوع هو. - وهل قرروا أي نبات هو، ومن أي نوع؟ أخبرني إن كنت تعرف. - حسنا! لقد ظلوا جميعا أول الأمر صامتين، وانحنوا فوقها بعض الوقت يتأملونها. وفجأة وهم ما زالوا يفحصونها، قال أحد التلاميذ إنها خضر مستديرة، وقال آخر إنها حشيش، وثالث إنها شجرة. فلما سمع طبيب صقلي كان موجودا هناك ذلك الحديث، انفجر ساخطا على الهراء الذي ينطقون به. - أحسب أنهم لا بد غضبوا غضبا شديدا، وصاحوا في وجهه؛ إذ من الفظاظة أن يفعل ذلك في وسط الحديث. - لم أحفل بالتلاميذ، ولكن أفلاطون الذي كان موجودا أخبرهم في عطف شديد، وبغير انزعاج أن يحاولوا من البدء تعريف نوعها. ثم مضوا في تعريفاتهم.